Ciri Habis Dibagi

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Konsep Habis Dibagi

Definisi dari konsep habis dibagi adalah jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi b (dinyatakan dengan  ). Jika dan jika ada sebuah bilangan bulat c demikian sehingga b = ac.Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu bilangan bulat p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x dan dinotasikan dengany │ xyang dapat diartikan sebagai y adalah faktor (pembagi) x, atau x adalah kelipatan y. Jika y tidak membagi x dinotasikan dengany ┼ x.

Keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan didalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis tentang pembuktian teorema. Keadaan inilah yang memberikan gagasan tentang perlunya definisi keterbagian. Keterbagian atau divisibility adalah sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.

B.     Sifat-sifat Keterbagian

Jika a,b,c   bilangan bulat maka berlaku:

1.      a│ b →  a │bc,  untuk setiap c bilangan bulat.

Bukti Jika d│a maka ada suatu bilangan bulat k sehingga a = dk. Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan di atas dengan n, kita peroleh a(n) = dk(n). Dengan menggunakan sifat-sifat komutatif, asosiatif, dan ketertutupan perkalian pada bilangan bulat, kita peroleh n.a = d (nk). Jadi d│na.

2.       (a │ b, b │c) → a │ c.

Buktia│bdanb│kmaka menurut definisi, terdapat bilangan bulatf dan g sedemikian sehingga k = bg = (af)g = a(fg). Jadi, k = a(fg). Akibatnya menurut definisi, a│k.

3.      (a │ b, b │a) → a = ± b.

4.      (a │ b, a │c) → a │ (b ± c).

Bukti d│a mengakibatkan a = md, m suatu bilangan bulat. d│b mengakibatkan b = nd, n suatu bilangan bulat a + b = md + nd = (m + n)d Karena m dan n bilangan bulat, m + n juga bilangan bulat, d│ (a + b). Dengan demikian, d membagi a + b, atau ditulis d│ (a + b).

5.      (a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap  x,y  bilangan bulat.

Bukti j│adanj│bmaka terdapat bilangan bulatfdan gsedemikian sehingga  danb =jgsehingga, ka + lb = kjf + ljg = j(kf+lg). Akibatnya, j│(ka+lb).

Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan c

6.      ( a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b.

7.       a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m bilangan bulatdan m ≠ 0

8.      ( a│b dan a │ b+c ) → a │c.

C.    Dalil-dalil Ciri Habis Dibagi

1.      Dalil 1:

Jika a dan masing-masing habis dibagi p, maka a+b dan a-b habis dibagi p

Bukti :

Diketahui :      a habis dibagi p

                      b habis dibagi p

Buktikan :     a+b habis dibagi p

                      a-b habis dibagi p

Bukti :

a habis dibagi p berarti a= k x p

b habis dibagi p berarti b= m x p, maka

a+b = k x p + m x p = (k+m) x p

Jadi a + b habis dibagi p

a-b = k x p – m x p = (k-m) x p

Jadi a-b habis dibagi p

2.      Dalil II

Jika a habis dibagi p tetapi b tidak habis dibagi p, Maka a + b dan a – b tidak habis dibagi p.

Dalil II

Diketahui :      a habis dibagi p

                      b tidak habis dibagi p

Buktikan :     a + b tidak habis dibagi p

                      a – b tidak habis dibagi p

Bukti:

Mengingat yang harus dibuktikan terdapat dua kemungkinan, yaitu:

a + b habis dibagi p, atau a + b tidak habis dibagi p.

Andaikan a + b habis dibagi p

Diketahui bahwa a habis dibagi p maka menurut dalil I: ( a + b ) +  (-a) habis dibagi p. Jadi b habis dibagi p. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui. Sehingga perandaian diatas salah.Maka a + b tidak habis dibagi p.

3.      Dalil III

Apabila a habis dibagi b, dan b habis dibagi c, maka a habis dibagi c.

Bukti dalil III

Diketahui :      a habis dibagi b

                             b habis dibagi c

Buktikan :     a habis dibagi c

Bukti:

a habis dibagi b berarti a = k x b

b habis dibagi c berarti b = m x c

jadi   a  = k x ( m x c )

          = ( k x m ) x c

Catatan : nol habis dibagi oleh tiap-tiap bilangan asli.

D.    CiriHabis Dibagi

Bilangan habis dibagi bukan berarti hasil yang didapat dari pembagian bilangan tersebut sama dengan 0 tetapi hasil dari pembagiannya adalah bilangan bulat. Misalnya 10 : 2 = 5 maka 10 habis dibagi 2 karena hasil dari pembagian tersebut adalah bilangan bulat yaitu 5, sedangkan 10 : 3 = 3,33 sehingga 10 tidak habis dibagi 3 karena hasilnya tidak dalam bilangan bulat yaitu 3,33.Berikut ini merupakan ciri-ciri bilangan yang habis dibagi.

1.      CiriHabis Dibagi 1

Bilangan yang habis dibagi 1 adalah semua bilangan.

2.      Ciri Habis Dibagi 2

Suatu bilangan habis dibagi dua apabila nilai angka terakhir dari lambangnya habis dibagi dua. Bilangan yang habis dibagi 2 adalah bilangan genap yang digit terakhirnya 0, 2, 4, 6, maupun 8.

Contoh:
Apakah 4796 habis dibagi 2?

Jawaban:

4796 = 4790 + 6

          = 479 x 10 + 6

Suku pertama ruas kanan, yaitu 479 x 10, habis dibagi 10. Karena 10 habis dibagi 2, maka 479 x 10 habis dibagi 2 (dalil III).

Suku kedua, yaitu 6, juga habis dibagi 2.

Maka menurut dalil I, 4790 + 6 habis dibagi 2. Jadi, 4796 habis dibagi 2.

3.      Ciri Habis Dibagi 3

Setiap kelipatan 9 merupakan kelipatan 3, maka terdapat dalil: Setiap bilangan sama dengan kelipatan tiga ditambah jumlah nilai angka-angkanya. Dari dalil itu diturunkan ciri habis dibagi tiga adalah: Suatu bilangan yang habis dibagi 3 adalah bilangan yang apabila jumlah angka-angka bilangan tersebut habis dibagi 3.

Contoh:
Apakah 32564892 habis dibagi 3?

Jawaban:

Karena 3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 8 + 9 + 5 = 42, lalu 42:3=14. Jadi, 32564892 habis dibagi 3.

4.      Ciri Habis Dibagi 4

Suatu bilangan habis dibagi 4 apabila 2 bilangan/digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi 4.

Contoh:
Apakah 25879416 habis dibagi 4?

Jawaban:

Karena 2 angka/digit terakhir bilangan tersebut adalah 16, dan 16 habis dibagi 4. Jadi, 25879416 habis dibagi 4.

5.      Ciri Habis Dibagi 5

Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila angka terakhir lambangnya habis dibagi 5. Dapat pula dikatakan suatu bilangan habis dibagi 5 apabilalambangnya berakhir dengan angka 0 atau angka 5.

Contoh:
Apakah 225654580 habis dibagi 5?

Jawaban:
Karena digit terakhir bilangan tersebut adalah 0, maka 225654580 habis dibagi 5. Jadi, 225654580 habis dibagi 5.

6.      Ciri Habis Dibagi 6

Ciri-ciri bilangan yang habis dibagi 6 adalah apabila jumlah digit-digit bilangan tersebut habis dibagi 2 dan habis dibagi 3.

Contoh:
Apakah 1286652 habis dibagi 6?

Jawaban:
Karena 1 + 2 + 8 + 6 + 6 + 5 + 2 = 30, dan 30 habis dibagi 2 (30:2=15) dan habis dibagi 3 (30:3=10) maka 1286652 habis dibagi 6.

7.      Ciri Habis Dibagi 7

Bilangan yang habis dibagi 7 adalah bilangan yang apabila satuan bilangan tersebut dikali 2 lalu menjadi pengurang bagi bilangan didepannya/sisanya.
Contoh:
Apakah 553 habis dibagi 7?

Jawaban:
Karena satuannya (3) dipisah dan dikali 2 lalu 55 – (3 x 2) = 55 – 6 = 49, 49 habis dibagi 7,maka 553 habis dibagi 7. Jadi, 553 habis dibagi 7.

8.      Ciri Habis Dibagi 8

Ciri-ciri bilangan habis dibagi 8 adalahapabila 3 digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi 8.

Contoh:
Apakah 12360 habis dibagi 8?

Jawaban:
Karena 3 digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi 8 (360 : 8 = 45),maka 12360 habis dibagi 8. Jadi, 12360 habis dibagi 8.

9.      Ciri Habis Dibagi 9

Setiap bilangan sama dengan kelipatan sembilan ditambah dengan jumlah nilai angka-angkanya. Dari dalil tersebut, mengingat dalil I, dapat diturunkan ciri habis dibagi sembilan yaitu: Suatu bilangan yang habis dibagi sembilan adalah jumlah semua digit-digit bilangan tersebut habis dibagi 9.

Contoh:
Apakah 12684591 habis dibagi 9?

Jawaban:
Karena 1 + 2 + 6 + 8 + 4 + 5 + 9 + 1 = 36, dan 36 habis dibagi 9, maka 12684591 habis dibagi 9. Jadi, 12684591 habis dibagi 9.

10.  Ciri Habis Dibagi 10, 100, dan 1000

a.       Suatu bilangan yang habis dibagi 10, apabila lambangnya berakhir dengan angka 0

b.      Suatu bilangan yang habis dibagi 100, apabila lambangnya berakhir dengan dua angka 0

c.       Suatu bilangan yang habis dibagi 1000, apabila lambangnya berakhir dengan tiga angka 0

Contoh:

a.       Apakah 160 habis dibagi 10?

160 sama dengan 16 x 10. Jadi, 160 habis dibagi 10.

b.      Apakah 28976200 habis dibagi 100?

28976200 sama dengan 289762 x 100. Jadi, 28976200 habis dibagi 100.

c.       Apakah 72518000 habis dibagi 1000?

72518000 sama dengan 72518 x 1000. Jadi, 72518000 habis dibagi 1000.

11.  Ciri Habis Dibagi 25

Suatu bilangan habis dibagi 25 apabila kedua angka terakhir dari lambangnya menunjukan bilangan yang habis dibagi 25. Ciri tersebut juga dapat dinyatakan dengan suatu bilangan habis dibagi 25, apabila  lambangnya berakhir dengan 00, 25, 50, atau 75.

Catatan: Ciri habis dibagi 4 dan 25 tentu saja hanya berfaedah untuk bilangan yang lambangya terdiri atas lebih dari 2 angka.

Contoh:

Apakah 38175 habis dibagi 25?

Jawaban:

Karena lambang akhir bilangan tersebut 75, dan 75 habis dibagi 25 maka 38175 habis dibagi 25.

12.  Ciri Habis Dibagi 125

Suatu bilangan habis dibagi 125 apabila tiga angka terakhir dari lambangnya menunjukkan bilangan yang habis dibagi 125.

Catatan: Ciri habis dibagi 8 dan 125 hanya berguna untuk bilangan yang lambangnya terdiri atas lebih dari tiga angka.

Contoh:

Apakah 45625 habis dibagi 125?

Jawaban:

Karena tiga angka terakhir yakni 625 habis dibagi 125, maka 45625 habis dibagi 125.

DAFTAR PUSTAKA

Fajar.2011. Bilangan Genap dan Gasal (Ganjil).Diunduh dari http://fajarbhapenk.blogspot.com/2011/12/bilangan-genap-dan-gasal-ganjil.html pada tanggal 7 September 2013.

Nurhayati.2013.Keterbagian.Diunduh darihttp://www.slideshare.net/nurhayati154/keterbagianpada tanggal 7 September 2013.

Ola. 2010. Keterbagian.Diunduh dari http://olalanenymoo.wordpress.com/2010/04/14/keterbagian/ pada tanggal 7 September 2013.

Wahyudi. 2008. Pembelajaran Matematika di Sekolah Dasar. Surakara: UNS.

Zahra. 2013. Ciri Bilangan Habis Dibagi. Diunduh dari http://zahra-ayafni.blogspot.com/2013/04/ciri-bilangan-habis-dibagi_953.html pada tanggal 7 September 2013.